L'INDUCTION MAGNÉTIQUE

Introduction

  Voici un mini-cours pour aider à reviser les principes de l'induction.

  Il existe beaucoup d'articles sur l'internet qui démontrent que l'induction magnétique est mal comprise par certaines personnes.  Beaucoup de sites que j'ai visités présentent le phénomène de l'induction d'une façon tellement compliquée (ou n'expliquent rien) que même les auteurs se perdent dans leur propres conclusions (voir par exemple: Müller {copie locale}).  Malheureusement, certaines expériences sont interprétées ou faites incorrectement et il est facile de trouver une multitudes de résultats contradictoires.

  Pourtant, l'induction est facile à comprendre.  Après quelques explications, je commente les résultats de deux sites web.
 
 

Table des matières


 

Mécanisme fondamental: Force sur une charge

  L'induction magnétique se manifeste par un potentiel électrique qui apparaît aux bouts d'un conducteur qui se déplace dans un champ magnétique.  Le mécanisme fondamental qui entre en jeu est la "force électromotrice" ressentie par les électrons libres dans le métal du conducteur.

  La force sur une charge est égale à:

F = q ( E + v x B )

où q est la charge (négative pour un électron), E est le champ électrique, v est la vitesse de la charge, B est le champ magnétique.  Les vecteurs sont indiqués par des caractères gras.  Le produit 'x' est le produit vectoriel.

  Il est important que les quatre quantitées F, E, v et B soient mesurées dans un système "inertiel Galiléen" où la source du champ magnétique (dipole, aimant, solénoïde, etc.) est au repos.  Un système est "inertiel Galiléen" si absolument aucune force fictive n'est présente (comme la force centrifuge, la force de Coriolis, tangentielle, etc.).  Trois axes orthogonaux sont alors établis et servent de référence pour les vecteurs à mesurer.

  (On peut aussi faire le calcul où on se déplace avec l'électron, mais la méthode est complètement différente et plus difficile - voir Appendice I.)
 
 

Calcul de l'induction dans un conducteur

  Si la force F est dans la même direction que la longueur du fil, alors toute la composante de cette force sert à pousser les électrons le long du fil.  Dans le cas plus général où la direction d'un élément du fil dl n'est pas la même que celle de la force, il faut calculer la composante de la force le long du fil pour obtenir le potentiel:
dU = F . dl

  En additionnant tous les potentiels le long du fil, on obtient le potentiel total.  La composante de cette force dans la direction du fil pousse les électrons jusqu'à ce qu'un champ électrique opposé se crée dans le conducteur.  Si le conducteur forme une boucle et que la composante totale force totale autour de la boucle est non nulle, un courant circule dans la boucle.

  Si les charges dans un fil effectuent des mouvement qui ne sont pas inertiels, le problème peut être résolu en utilisant la vitesse instantanée de chaque charge.  Cependant, si la source du champ magnétique effectue des mouvement qui empêchent de la mettre au repos dans un système inertiel Galiléen, le problème ne peut pas être simplifié en utilisant la vitesse instantanée de la source.  Le problème est beaucoup plus difficile à résoudre, mais il existe des simplifications possibles dans beaucoup de cas.
 
 

Calcul de l'induction dans des cas simpes

  Je donne ici quelques exemples simples avant d'expliquer les expériences intéressantes.
 

Exemple 1, dynamo linéaire:

  Une bobine glisse vers le bas le long de l'axe d'un aimant cylindrique magnétisé le long de son axe comme dessiné sur la figure 1.  Les lignes du champ magnétique sont dessinées en vert.  Un ampèremètre mesure le courant induit dans la bobine.

Figure 1. 

  Puisqu'il n'y a pas de champ électrique (l'aimant est neutre), la force est qv x B.  Du coté droit de la bobine sur la figure, la force est dans la direction qui entre dans la page.  C'est justement la direction du fil, et à cause de la symétrie axiale de l'expérience, la force électromotrice s'additionne le long du fil et un courant se met à circuler dans la bobine.  Il faut remarquer que cette expérience peut être aussi expliquée par un changement de flux (nombre de lignes magnétiques) passant dans la bobine. L'équation d'induction de Faraday, qui donne la force électromotrice comme étant proportionnelle au changement de flux dans la boucle, s'applique ici.

  L'équation d'induction de Faraday est dérivée mathématiquement en intégrant l'équation de Maxwell  rot E = - dB/dt  et en supposant certaines contraintes (entre autres, que la boucle est un fil qui définit un parcours qui se déforme selon la vitesse du fil).
 

Exemple 2, aimant en mouvement linéaire:

  Un aimant rectangulaire passe vers la droite en dessous de la section BC d'une bobine rectangulaire comme dans la figure ci-dessous.
Figure 2. 

  Pour déterminer la vitesse des électrons du conducteur, il faut trouver la vitesse des électrons dans un système où l'aimant est au repos.  Un tel système est facile à trouver si on se déplace avec l'aimant.

  Dans le système de l'aimant, le problème est donc de trouver les forces sur les électrons se déplaçant vers la gauche avec le fil. La force sur les électrons dans la section BC, au dessus de l'aimant, est vers B.  La force dans la section AD est plus faible, vers D puisque le champ magnétique est vers le bas.  Elle s'ajoute à celle de BC.  Il y a donc une induction nette dans cette boucle.  L'induction est renversée quand l'aimant passe sous le segment AD.
 
 

Exemple 3, fil tournant autour de l'axe magnétique d'un aimant:

  Une boucle de fil tourne autour de l'axe d'un aimant cylindrique comme sur la figure suivante.

Figure 3. 

  Ici, les rotations sont transformées en vitesse instantanée comme indiqué dans la partie de droite de la figure.  Les lignes de champ induisent une force dans le fil, mais si le calcul des forces est fait pour tous les segments du fil (montré par la grosseur des flèches), le résultat est nul.  Sans faire le calcul exact, on peut voir que les lignes de champ magnétique "coupent" le fil "deux fois", une fois dans un sens, l'autre dans l'autre sens, pour annuler la force électromotrice.  En fait, il n'est même pas nécessaire qu'un segment de la boucle soit le long de l'axe magnétique, le résultat est toujours nul si la boucle tourne autour de l'axe magnétique.  Le calcul exact donne une induction nulle (voir le petit programme en Appendice II pour un calcul numérique et une référence à un calcul analytique).
 

Exemple 4, générateur de Faraday:

  Un disque de cuivre tourne au dessus d'un aimant et le circuit est complété par un fil immobile qui glisse sur la partie extérieure du disque.

Figure 4. 

  Les électrons dans le disque de cuivre sont entrainés à travers les lignes de champ (en utilisant ici aussi une vitesse instantanée) résultant en une force électromotrice.  Le reste du circuit est immobile et ne contribue pas à la force électromotrice.  Puisque les lignes de champ coupent une fois le conducteur, on obtient une force électromotrice nette.

  Un effet semblable est retrouvé dans l'effet Hall: un courant déplace des électrons dans un conducteur placé dans un champ magnétique et une force électromotrice apparaît dans une direction perpendiculaire au courant et au champ magnétique.

  Ici, il n'y a pas de changement de flux dans la boucle, mais une force électromotrice est induite!  L'équation d'induction de Faraday n'est pas valide ici parceque le conducteur a une vitesse sans changer la forme de la boucle!  L'équation d'induction de Faraday ne s'applique pas dans tous les cas et il faut toujours revenir au mécanisme fondamental.
  Le théorème de Stokes utilisé pour calculer l'induction est un théorème mathématique.  Il n'y a pas de restrictions (excepté que je crois qu'il faut que la fonction du champ soit continue).  Le théorème de Stokes est utilisé pour faire le calcul mentionné en bas de l'exemple 1 et obtenir l'équation d'induction.  Pour savoir la force électrique totale le long d'une boucle (fixe) fermée dans un champ magnétique variable, on intègre l'équation de Maxwell  rot E = - dB/dt le long de la boucle.  D'après le théorème de Stokes, le résultat est égal au changement de flux magnétique qui passe dans la boucle.  Mais ce calcul suppose que la boucle ne bouge pas et que le champ magnétique varie dans le temps.  Dans les autres cas (comme l'exemple 4), le problème est différent.  Le théorème de Stokes est toujours vrai, mais il ne s'applique pas pour calculer ce qui se passe. C'est pour ça que je réduit le problème à un calcul plus fondamental de ce qui se passe dans le conducteur (une force électrique sur les électrons).
 

Exemple 5, transformateur:

  Une bobine fait face à une autre et le courant dans la bobine de gauche est varié en fonction du temps.

Figure 5. 

  Dans ce cas ci, il n'y a aucune vitesse du conducteur de droite dans le champ magnétique (variable) produit par la bobine de gauche, donc v = 0.  Mais pour produire une variation de courant dans la bobine de gauche (une variation de la vitesse des électrons), un champ électrique doit exister dans la direction du fil de la bobine (lignes oranges sur la figure 5).  Ce champ électrique produit une force sur les électrons de l'autre bobine égale à F = qE.  Le transformateur est habituellement expliqué par un changement du flux magnétique dans le secondaire, l'équation d'induction de Faraday est valide pour ce cas ci.  C'est aussi une façon plus simple de penser au problème, mais fondamentalement c'est un champ électrique qui produit la force électromotrice dans le secondaire.

  Comment un matériau ferromagnétique placé entre les deux bobines peut aider à augmenter le couplage des deux bobines du transformateur?  C'est simplement que le champ électrique est couplé par les électrons accélérés dans le matériau ferromagnétique.
 

Exemple 6, rotation d'un aimant autour de son axe magnétique:

  En voici un très intéressant.  Un aimant ayant une symmétrie axiale et magnétisé le long de son axe de symmétrie tourne sur son axe.  A première vue ce problème est très difficile à résoudre parcequ'on ne peut pas le réduire à un problème où la source du champ magnétique est dans un système inertiel Galiléen.  Mais la symmétrie du problème permet des simplifications.

  Ce qui se passe ici, c'est que les lignes du champ magnétique ne tournent pas avec l'aimant!  Il n'y a donc pas d'induction dans n'importe lequel des segments de la boucle.  (Un raisonnement faux serait de dire que les lignes de champ croisent le fil conducteur deux fois et que la force électromotrice s'annule, comme dans l'exemple 3.  La conclusion est correcte, mais la raison donnée n'est pas bonne pour expliquer l'absence d'induction dans la boucle.)

  Le fait que les lignes de champ magnétique ne tournent pas avec un aimant tournant autour de son axe magnétique peut être expliqué comme ceci.  Puisque tous les champs magnétiques sont générés par des charges en mouvement, imaginons qu'on peut voir dans un aimant fixe les électrons se promener en cercle avec une rotation positive, comme sur un manège (figure 14, à gauche).  Les électrons (en bleu) sont attachés sur le manège du bas qui tourne et produisent un champ magnétique (rose).  Les ions positifs (en rouge) sont fixés en haut avec l'aimant et annulent le champ électrique des électrons.  Une charge test (un électron) est placé, immobile, juste à droite de l'aimant.  Il est effectivement dans un champ magnétique, mais puisque qu'il ne bouge pas (v = 0) et qu'il n'y a pas de champ électrique (E = 0), il n'y a pas de force sur l'électron.  Il n'y a donc pas de force électromotrice dans un conducteur près d'un aimant fixe.

  Si on fait tourner l'aimant dans la direction opposée au sens de rotation des électrons (flèche bleue, figure 14 droite), on peut arrêter les électrons et avoir des ions positifs tournant avec une rotation négative.  Le champ magnétique généré par les ions est le même que celui généré par les électrons de l'aimant de gauche (même courant).  Le champ électrique est encore nul, et pour les mêmes raisons que plus tôt, la charge test n'est pas affectée par le champ magnétique.  Le même raisonnement s'appplique pour n'importe laquelle vitesse de rotation de l'aimant sur son axe.  Les lignes de champ ne bougent donc pas avec un aimant tournant.

  Je n'ai pas trouvé de démonstration expérimentale de ce phénomène.  La difficultée de cette expérience est que si une boucle est utilisée, il n'y a pas moyen de distinguer entre deux possibilitées:

  J'ai vu une suggestion intéressante (sur "http://colossus2.cvl.bcm.tmc.edu/%7Ewje/free_energy/index.html") qui proposait de faire l'expérience des gouttes d'huile de Millikan près d'un aimant fixe (copie locale).  Après avoir ajusté le champ électrique vertical pour annuler la force gravitationnelle sur une gouttelette d'huile chargée, on pourrait faire tourner l'aimant sur lui-même pour voir si la gouttelette se déplacerait de côté!   C'est une expérience qui, si elle n'a pas été faite, serait relativement facile à faire et mériterait une publication.
 
 

Application à des cas pratiques

  Voici les expériences de Müller tels que présentés sur sa page web:

http://mywebpages.comcast.net/Deneb/muller.htm

  Müller à beaucoup d'erreurs sur son site.  Entre autre, il écrit: "Perhaps the reader is wondering if I made all the experiments described in Part I. How can one measure a voltage in an isolated piece of wire? In principle this is possible, by inserting electrometers at the midpoint of the wire."  Cette phrase est incorrecte! Si un électromètre est inséré au milieu d'un fil coupé en deux, il n'y aura pas de voltage mesurable pour n'importe laquelle des expériences qu'il suggère!  La raison est qu'un électromètre ne peut pas mesurer un potentiel entre deux points séparés, à moins qu'il soit connecté à ces points séparés.  Mais les fils qui vont aux points séparés sont aussi dans le champ magnétique.  Le potentiel mesuré est alors entre deux points qui ne sont pas séparés par une distance raisonnable.  Le potentiel étant proportionnel à la distance, aucun potentiel n'apparaîterait sur l'électromètre.  (La seule façon de mesurer un potentiel sur deux bouts de fil est de varier le champ électro-magnétique rapidement pour que le temps de propagation d'un bout à l'autre du fil soit comparable ou plus long que la période du champ électromagnétique: on a alors une antenne de longueur comparable à la longueur d'onde de l'onde électro-magnétique, mais ça c'est un autre problème.)

  La seule façon de mesurer quelque chose dans les expériences suggérées par Müller est d'avoir une boucle fermée.

  J'ai construit les montages suivants suggérés par Müller pour vérifier certains de ses résultats.
 
 

Expérience de Müller - translation linéaire:

Expérience: J'ai fait l'expérience de la figure 12 et mes résultats sont donnés dans la table 2 plus bas, dans la colonne "Expérience".  Je n'ai pas de boucle de fil en deux partie, je ne présente donc pas de résultats où ECR est déplacé indépendemment de OR.  Mes aimants sont bien collés sur le blindage, je n'ai donc pas de résultats où les aimants se déplacent indépendamment du blindage PP'.  Deux cas sont ajoutés aux expériences de Müller.

Théorie: Le cas où l'aimant se déplace sans déplacement du blindage est laissé comme exercice (voir plus bas pour quelques indices).  Pour faciliter la compréhension du problème quand l'aimant et le blindage bougent  ensemble, l'aimant et les morceaux de fer sont coupés en deux le long des lignes magnétiques (voir figure 12b).  Ca ne change rien à l'induction dans la boucle RCEOR puisque les lignes de champ magnétique où se trouve le fil de la boucle ne sont pas affectées.

Il est alors facile de voir qu'un champ électrique est induit si le fil OR coupe des lignes de champ.  Les lignes de champ sont coupées en bougeant soit OR le long de l'aimant (comme dans l'exemple 1), soit l'aimant et le blindage autour de OR (comme dans l'exemple 2).  La table II de Müller est reproduite ici (avec des colonnes et rangées ajoutées en rose, et les cas présentés dans un ordre plus naturel) avec une colonne supplémentaire "Blindage" pour décrire le mouvement du blindage.  Dans le cas des expériences de Müller, il semble que le blindage reste fixe dans tous les cas.

  Cette explication donne les prédictions suivantes (dernière colonne de la table II).  (En vert avec "?" reste à expliquer comme exercice.)

  La description de Müller pour les cas #4, #6, #7 et #8 ne m'est pas très claire.  Si les aimants M et M' bougent par rapport au blindage, alors les aimants en demi-cercle doivent aussi bouger un peu.  Est-ce que les aimants opposés à M et M' (en arrière sur la figure) bougent aussi en sens inverse?  Puisque les résultats de la table II de Müller sont comme ceux de sa table I, il semble bien qu'il déplace ses aimants comme il le dessine sur sa figure 6.
 

Expérience de Müller - rotation:

Expérience: J'ai fait l'expérience de la figure 10 et mes résultats sont donnés dans la table I plus bas, dans la colonne "Expérience".  Je n'ai pas de bobine en deux partie, il n'y a donc pas de résultats où ECR est déplacé indépendemment de OR.  Je ne peut pas tourner l'aimant CM indépendamment du blindage PP' non plus, il n'y a donc pas de résultats où CM tourne par rapport PP'.  Mes expériences ajoutent deux cas supplémentaires à la table de Müller.

Théorie: Ici aussi j'ajoute une colonne à la table I de Müller (les cas sont présentés dans un ordre plus naturel).  L'explication des expériences de Müller se trouve en remarquant que faire tourner uniquement l'aimant CM ne change rien (example 6).  Les résultats de la théorie pour 1 et 4 sont donc les mêmes (table I), de même que pour les paires 6 - 2, 7 - 3 et 8 - 5.  Puisque ECR est en dehors du champ magnétique, la rotation de ECR ne change rien non plus: la théorie donne la même chose pour les paires 1 - 3, 2 - 5, 4 - 7 et 6 - 8.  En combinant les paires semblables, on obtient que 1-3-4-7 devraient théoriquement donner les mêmes résultats, et 2-5-6-8 aussi devraient théoriquement donner les mêmes résultats.

  Dans le cas #1, rien ne bouge et il n'y a pas d'induction.  Donc pas d'induction non plus pour les cas #3, #4 et #7.

  Dans le cas #2, OR bouge dans le champ.  Il est facile de voir qu'en tournant OR, le fil OR coupe des lignes de champ (comme dans l'exemple 2 plus haut) et une force électromotrice est induite.  Même conclusion pour les cas #5, #6 et #8. La table I de Müller s'explique donc facilement.

  Pour ce qui est de l'expérience que j'ai faite qui consiste en tourner simultanément l'aimant CM et le blindage PP' (que je vais appeler CMPP'), la symmétrie de l'exemple 6 n'existe pas dans ce problème.  Pour simplifier le problème, l'aimant et le blindage CMPP' sont coupés en deux le long des lignes magnétiques (voir figure 10b).  Si CMPP' tournent ensemble, le fait d'avoir coupé en deux le montage ne change rien à l'induction dans la boucle RCEOR puisque les lignes de champ magnétique où se trouve le fil de la boucle ne sont pas affectées.

  Pour essayer de trouver une solution à ce problème, je propose de séparer la rotation et la translation de CMPP': une rotation autour de "l'axe magnétique" ne fait pas tourner les lignes de champ (example 6), la translation les déplace (example 2).  Dans le cas de l'aimant de la figure 13, "l'axe magnétique" était facile à trouver.  On voit que si on fait tourner l'aimant autour de l'axe magnétique, il n'y a pas d'induction dans la boucle de fil.  On voit aussi que si on fait tourner la boucle autour de l'axe magnétique (comme dans l'exemple 3), il n'y a pas d'induction dans la boucle.  Pour le problème de la figure 10, je trouve l'axe autour duquel on peut faire tourner la boucle sans qu'il n'y ait d'induction.  Cet axe est indiqué en rouge sur la figure 10: il passe par le milieu de la section de fil qui est dans les lignes de champ.  En faisant la correspondance inverse, on peut dire que si on tourne CMPP' autour de l'axe rouge (axe magnétique), il n'y aura pas d'induction dans la boucle.
  Dans le CAS # 9, il y a une rotation de CMPP' autour de l'axe EO.  Je décompose ce mouvement en une rotation de CMPP' autour de l'axe rouge (exemple 6, pas d'induction) et une translation vers la gauche (exemple 2, induction dans la boucle).  La théorie prédit qu'il devrait y avoir une induction, et je la mesure.
  Dans le CAS # 10, il y a une rotation de CMPP' et de la boucle autour de l'axe EO.  Je décompose le mouvement de rotation de l'aimant comme pour le cas précédent.  Pour le fil, la même décomposition des mouvements s'applique: autour de l'axe rouge (pas d'induction, l'axe à été choisi pour qu'il n'y en ait pas) et une translation vers la gauche.  L'aimant et le fil ont une composante de mouvement vers la gauche, et dans le système où l'aimant est immobile, le fil est aussi immobile et il n'y a pas d' induction.  Ce résultat est en accord avec l'absence d'induction que je mesure.
Cette explication donne les prédictions suivantes (dernière colonne de la table I):

  Explication: mes résultats expérimentaux sont en accord avec les résultats de Müller, et tout est en accord avec la théorie.
À remarquer ici que le cas #8 n'est pas réciproque au cas #1 (contrairement à ce que dit Müller).  C'est le cas #10 qui est réciproque au cas #1, et les deux donnent le même résultat: pas d'induction.  De même, le cas #3 n'est pas réciproque au cas #6.  L'erreur sérieuse de Müller est d'avoir oublié une partie du système: il n'a pas de colonne pour le blindage!  Pourtant, le blindage est aussi important que l'aimant.
  Il est facile de trouver ce qui se passerait pour les six autres cas puisque l'induction ne dépend pas de la rotation de ECR ni de la rotation de l'aimant CM.
(Et tout ça sans parler de galaxies!)
 

Les expériences de Kelly

  D'autres expériences sont décrites par Kelly sur le site:

http://www.iei.ie/papers/faraday/faraday1.html (disparu)

La description de toutes ses expériences est trop longue pour être décrite ici.  Je vous invite à aller lire sa page web.  Il a fait l'expérience que je décrit ci-dessus avec une boucle de fil, mais aussi d'autres expériences avec des aimants tournant autour de leur axe magnétique.  Ses résultats expérimentaux sont qualitativement correct, mais assez imprécis.  La conclusion finale de son article, que les lignes de champ magnétique tournent avec un aimant autour de l'axe magnétique, ne considère pas l'impossibilité de distinguer entre cette hypothèse et celle où les lignes de champ ne bougent pas, quand une boucle de fil est utilisée pour faire les mesures (comme discuté plus haut).  Les commentaires de l'ingénieur K.C. Rajaraman (copie locale) sont particulièrement instructifs.

Sa table des résultats est copiée ici avec l'explication de chaque résultat.
 
Arrangement
Galvanometer 
Reading
Comments
(par A.G. Kelly)
Explication
Circuit external to Magnet
(a) Whole circuit spin
0
Lines cut circuit twice Fil coupe les lignes 2x
(b) Magnet only spin
0
Lines cut circuit twice Lignes ne tournent pas
(c) Magnet & circuit spin
0
No relative motion Fil coupe les lignes 2x
Faraday Generator
 
 
 
(d) Magnet spin
yes
Lines cut leads once Aimant coupe lignes 1x
(e) Circuit spin
yes
Lines cut leads once Fil coupe les lignes 1x
(f) Magnet & circuit spin
0
No relative motion Aimant, fil coupent 2x
Disc Tests
 
 
 
(g) Disc only spin
yes
Some lines cut disc once Disque coupe lignes 1x
(h) Disc & Magnet spin
yes
Lines cut leads once Disque coupe lignes 1x
(j) Magnet only spin
0
Lines cut circuit twice Lignes ne tournent pas
(k) Disc & Circuit spin
0
Lines cut circuit twice Disque et fil coupent 2x
(1) Magnet, Disc, Leads spin
0
No relative motion Disque et fil coupent 2x
(m) Magnet & Circuit spin
yes
Lines cut disc only Fil coupe les lignes 1x
(n) Circuit only spin
yes
Circuit cuts lines once Fil coupe les lignes 1x

Certaines de ces expériences sont équivalentes entre elles du point de vue théorique: (a) = (k), (b) = (j), (c) = (f) = (l), (d) = (h) et (e) = (n).
On peut aussi voir que la force électromotrice en (h) doit être égale à celle de (m), mais de signe opposée puisque (l) donne zéro.  De même, la force électromotrice en (g) doit être égale à celle de (n), mais de signe opposée puisque (k) donne zéro.

  J'ai attaché des aimants sur une tige et les ai fait tourner autour de l'axe magnétique (comme dans le cas (b) de Kelly).  La bobine était placée tel que montré sur la figure 13 plus haut.  Résultat: pas d'induction.  Il n'y a pas d'induction non plus pour n'importe laquelle position de la bobine.
 
 

Conclusion

  Il serait intéressant de faire l'expérience proposée plus haut avec des charges près d'un aimant tournant.  Il serait aussi intéressant de trouver une façon facile de calculer les problèmes où l'aimant n'est pas dans un référentiel inertiel.  Il semble possible de séparer la rotation de la translation de l'aimant: la rotation ne fait pas tourner les lignes du champ mais la translation les déplace.  K.C. Rajaraman (copie locale) explique un peu plus ces calculs.

  Pour trouver comment le champ B se transforme en champ E dans le cas général, il faut des calculs utilisant la relativité (voir le livre de la série Berkeley Electricity and Magnetism pour des exemples simples).  Il est possible que certaines expériences simples, comme celle des gouttes d'huile chargées près d'un aimant tournant, puissent être utilisées pour vérifier l'exactitude de la théorie.  Müller prétend que la théorie est incorrecte, mais après avoir vu les erreurs qu'il fait, on ne peut pas croire ses conclusions.  Entre autre, il croit que son cas #1 (table I) est équivalent au cas #8; c'est faux, il ne considère pas tout le système et il ne sait pas que les lignes magnétiques ne tournent pas avec un aimant qui tourne!

  Contrairement à Müller, je conclut que WE DON'T NEED YET A NEW PHYSICS TO EXPLAIN MAGNETIC INDUCTION!
 



 

Appendice I

  Supposons par exemple un électron qui passe à un endroit qui contient un champ magnétique mais aucun champ électrique E = 0, tel que vu dans le système inertiel K.  Il est dévié par une force:

F = q v/c x B

Si on se met dans le système K' en mouvement avec l'électron, on voit aussi l'électron accélérer comme s'il était poussé par une force F'.  Mais la seule force qui peut agir sur un électron au repos (v' = 0), tel que vu dans le système K', est une force électrique:

F' = q E'

Le champ magnétique B dans le système K est donc transformé partiellement en champ électrique E' dans le système K'.  Connaissant les champs E et B dans un système inertiel donné K, les champs magnétiques E' et B' dans un système inertiel K' se déplaçant avec une vitesse v par rapport à K sont (Jackson, p.552):

E' = g ( E + v/c x B ) - [g2/(g+1)] (v/c .E) v/c

B' = g ( B - v/c xE ) - [g2/(g+1)] (v/c .B) v/c

où g est le facteur gamma habituel en relativité restreinte.  Dans l'exemple donné ici, E = 0.  On voit que: E' = g ( v/c x B ), c'est à dire que F' = q g ( v/c x B ), compatible avec gF = F' et la première équation de cet appendice.

  Les champs électrique et magnétique sont une manifestation de la même chose vu dans des conditions différentes de mouvement.  Les champs magnétiques sont produits par des charges électriques en mouvement.  Cependant, on ne peut pas dire l'inverse, que les champs électriques sont produits par des charges magnétiques en mouvement, parcequ'il n'existe pas de monopole magnétique.  Cette asymmétrie à comme conséquence que le champ électrique est fondamental, et le champ magnétique n'est qu'un effet relativiste produit par des charges en mouvement.  D'ailleurs on voit que dans les équations de Maxwell, il y une 'source' de champ électrique, mais aucune 'source' de champ magnétique.  La force produite par un champ magnétique est une façon indirecte de décrire la force électrique, de même que la force de Coriolis est une façon indirecte de décrire le mouvement tel que vu dans un système en rotation.  D'ailleurs, la direction de la force magnétique est perpendiculaire à v et à B, comme dans le cas de la force de Coriolis qui est aussi perpendiculaire à v et à oméga (direction de la rotation).  Dans les deux cas, c'une force fictive qui apparaît à cause du choix d'un autre système de référence.
 


Appendice II

  Programme pour calculer l'induction dans une boucle tournant autour de l'axe magnétique d'un aimant en forme d'anneau.  La réponse est zéro (tel que démontré par l'ingénieur K.C. Rajaraman (copie locale), et expérimentalement) dans les limites de la précision de l'intégration numérique.
 

#include "stdio.h"
#include "math.h"

#define pi 3.1415926535898
#define delta 0.00001

#define BOUCLE_bas  -0.5
#define BOUCLE_droite 1.0
#define BOUCLE_haut  0.5
#define BOUCLE_gauche 0.0

// Champ produit par un aimant en anneau de rayon 'rayon' localisé
// dans le plan z à la position z==a_z
// vitesse de rotation de la charge est omega==1 partout
void charge_tournante(double rayon, double a_z, double delta_phi,
        double q_x, double q_z, // position de la charge
        double *f_x, double *f_y, double *f_z)
{
 double phi; // angle sur l'anneau de l'aimant
 double a_x, a_y; // et a_z: position de l'élément d'aimant
 double v_y; // vitesse de la charge
 double l, l3, cos_Theta, sin_Theta;
 double s, c, z, z2;
 double Bx, Bz; // champ magnétique

 *f_x=0; *f_y=0; *f_z=0;
 z=q_z-a_z;
 z2=z*z;
 for (phi=0; phi<2*pi; phi+=delta_phi)
 {
  s=sin(phi); c=cos(phi);
  a_x=rayon*c; a_y=rayon*s;
  v_y=q_x;
  l3=(q_x-a_x)*(q_x-a_x)+a_y*a_y+z2;
  l=sqrt(l3); // l== distance entre l'élément d'aimant et la charge
  l3*=l; // l3==l*l*l
// champ autour d'un dipole:
// référence http://www.netdenizen.com/emagnet/offaxis/mmoffaxis.htm
  cos_Theta=z/l;
  sin_Theta=(q_x-a_x)/l;
  Bx=3*cos_Theta*sin_Theta/l3;
  Bz=(3*cos_Theta*cos_Theta-1)/l3;
  *f_x+=v_y*Bz; // force en x
  *f_z+=-v_y*Bx; // force en y
 }
 *f_x*=delta_phi;
 *f_z*=delta_phi;
 return;
}

main()
{
 double f_x, f_y, f_z, U_l;
 double r, a_z, delta_phi, Qx, Qz;
 double delta_d;

 delta_phi=0.003;
 r=1.176; // rayon de l'anneau
 a_z=-1.0; // position z de l'anneau
 delta_d=.003;
 printf("Aimant à z==%lf, r==%lf\n", a_z, r);
 printf("            haut: %lf\n", BOUCLE_haut);
 printf("gauche: %lf           droite: %lf\n", BOUCLE_gauche, BOUCLE_droite);
 printf("             bas: %lf\n", BOUCLE_bas);
 U_l=0; // potentiel le long du fil
 Qz=BOUCLE_bas;
// horizontal, bas
 for (Qx=BOUCLE_gauche; Qx<BOUCLE_droite; Qx+=delta_d)
 {
  charge_tournante(r, a_z, delta_phi, Qx, Qz, &f_x, &f_y, &f_z);
  U_l+=f_x;
 }
 Qx=BOUCLE_droite;
// vertical, droite
 for (Qz=BOUCLE_bas; Qz<BOUCLE_haut; Qz+=delta_d)
 {
  charge_tournante(r, a_z, delta_phi, Qx, Qz, &f_x, &f_y, &f_z);
  U_l+=f_z;
 }
 Qz=BOUCLE_haut;
// horizontal, haut
 for (Qx=BOUCLE_droite; Qx>BOUCLE_gauche; Qx-=delta_d)
 {
  charge_tournante(r, a_z, delta_phi, Qx, Qz, &f_x, &f_y, &f_z);
  U_l-=f_x;
 }
 Qx=BOUCLE_gauche;
// vertical, gauche
 for (Qz=BOUCLE_haut; Qz>BOUCLE_bas; Qz-=delta_d)
 {
  charge_tournante(r, a_z, delta_phi, Qx, Qz, &f_x, &f_y, &f_z);
  U_l-=f_z;
 }
 U_l*=delta_d;
 printf("Potentiel total:\n   U_l=%lf\n", U_l);
 return;
}
 

Les résultats suivants sont obtenus pour différentes boucles et positions de l'aimant:
 

Aimant à z==-1.000000, r==1.176000
            haut: 0.500000
gauche: 0.000000           droite: 1.000000
             bas: -0.500000
Potentiel total:
   U_l=0.009197

Aimant à z==-1.000000, r==1.176000
            haut: 0.500000
gauche: 0.500000           droite: 1.000000
             bas: -0.500000
Potentiel total:
   U_l=0.002286

Aimant à z==0.000000, r==0.750000
            haut: 0.500000
gauche: 0.500000           droite: 1.000000
             bas: -0.500000
Potentiel total:
   U_l=0.004167

Si le bras horizontal en bas de la boucle est enlevé, un potentiel:
   U_l=-3.242498
est obtenu, montrant la grandeur du champ induit (l'erreur de l'intégration numérique est donc environ 3 x 10-3).
 



Louis, décembre 2002